Role of Fourier sine transform on the dynamical model of tensioned carbon nanotubes with fractional operator
Dr. José Francisco Gómez Aguilar
Tutor investigador – Universidad CNCI
En esta investigación se estudia el modelo dinámico de nanotubos de carbono tensados de pared simple, un enfoque basado en el cálculo fraccionario considerado en dos tipos de soluciones matemáticas y fraccionarias que se han explorado mediante la implementación combinada de transformadas sinusoidales de Laplace y Fourier. El coeficiente de expansión térmica y la rigidez a la flexión se consideran en la deflexión de los nanotubos de carbono de pared simple.
Los nanotubos de carbono son materiales que poseen propiedades notables y ofrecen posibilidades extraordinarias, por ejemplo:
- Térmicos: medición más alta de conductividad térmica a temperaturas moderadas.
- Mecánicos: la resistencia a la tracción es 100 veces mayor que el acero.
- Óptimos: respuesta de absorción y fluorescencia para la quiralidad.
- Propiedades eléctricas: las capacidades de transporte de corriente son más altas que las del cobre o el oro.
El cálculo fraccionario es una rama del análisis matemático que se encarga del estudio de los operadores (objeto matemático que convierte una función en otra). Los operadores más básicos son los de suma, resta, multiplicación y división, y se usan con números para realizar operaciones matemáticas en la forma que prácticamente todos conocemos. Sin embargo, los operadores para la integración y diferenciación de orden arbitrario pueden tomar cualquier valor, real, imaginario, o incluso una función dentro de los cuales, no sólo es posible considerar órdenes racionales, sino también, órdenes de tipo real e incluso complejo o variantes en el tiempo y/o espacio.
El uso de derivadas de orden fraccionario ofrece varias ventajas que son aprovechadas para resolver ciertos problemas: ofrece la libertad de elegir el orden de diferenciación a fin de ajustar a los datos experimentales o tomar en cuenta la complejidad del entorno o medio y, como caso particular, siempre se puede recuperar el operador de derivación o integración clásico, también, ofrece elegir la definición más adecuada de acuerdo a la naturaleza del fenómeno en estudio como los materiales viscoelásticos, el fenómeno de la difusión anómala, la teoría electromagnética (ondas), la economía y la teoría de circuitos. Con estos cálculos se puede obtener una mejor optimización de los datos experimentales para generar modelos matemáticos que describan a los sistemas, particularmente de fenómenos cuyos modelos clásicos o de orden entero no satisfacen los datos experimentales, por ejemplo, los fenómenos de transporte. Las derivadas fraccionarias poseen las propiedades de no-localidad y memoria, es decir, podemos hablar de no localidad cuando lo que ocurre en un instante de tiempo o en algún punto del espacio depende del promedio en un intervalo que contiene al instante de tiempo o al punto del espacio, en este sentido, los efectos no locales en el tiempo se conocen como efectos con memoria ya que consideran varias escalas de tiempo y los efectos no locales en el espacio pueden definirse como interacciones de largo alcance, ya que consideran varias escalas espaciales.
El cálculo fraccionario está estrechamente ligado a la teoría de los fractales con lo cual se generan parámetros y dimensiones de orden intermedio, esto permite conseguir una mejor modelización en las diferentes aplicaciones físicas. En particular, las propiedades de no-localidad y memoria dentro de los modelos que involucran ecuaciones diferenciales de orden fraccionario suelen representar de mejor manera la evolución temporal de muchos procesos físicos, la dinámica de sistemas complejos y la dinámica en medios heterogéneos que los de orden entero o clásicos. Sin embargo, debido a que los operadores de orden no entero permiten representar en forma más adecuada sistemas complejos, los modelos basados en estos operadores han permitido entender los comportamientos e interacción existente entre tensión, deformación y temperatura. No obstante, el empleo de derivadas fraccionarias en la representación de ecuaciones diferenciales suele dificultar los cálculos empleados para determinar la solución analítica de los modelos resultantes. Esto debido a que la cantidad de términos a manipular suele incrementarse considerablemente respecto a la representación clásica de estos sistemas. Debido a ello, es común recurrir a la solución numérica de estos sistemas.
En este trabajo se analiza el coeficiente de expansión térmica y la rigidez a la flexión y deflexión de los nanotubos de carbono de pared simple, para ello, se utiliza la ecuación de Euler-Bernoulli, la cual puede aplicarse a la deflexión de nanotubos de carbono de pared simple haciendo los siguientes supuestos:
- Los nanotubos de carbono de pared simple tienen una sección transversal constante; por lo tanto, hay un momento de inercia constante,
- la excitación es una distribución de presión uniforme en la superficie de los nanotubos de carbono de pared simple.
Con estas consideraciones, se obtuvieron soluciones clásicas y fraccionarias mediante la implementación combinada de transformadas sinusoidales de Laplace y Fourier.
Inicialmente, el modelo dinámico de nanotubos de carbono tensados se convierte en una ecuación diferencial de orden no entero de tipo Euler-Bernoulli con condiciones iniciales y de frontera sujetas a las transformadas sinusoidales de Laplace y Fourier. El modelo para la deflexión también se reduce a una ecuación diferencial de cuarto orden de tipo Euler-Bernoulli considerando la transformada de Laplace de la derivada del tiempo. Luego, se obtiene la solución analítica para la deflexión mediante la transformada sinusoidal de Fourier, estas soluciones implican parámetros reológicos, por ejemplo, cambio de temperatura, magnitud de la distribución de presión, parámetro de Winkler, frecuencia, entre otros. Además, se ha abordado gráficamente la influencia dinámica de la deflexión de los nanotubos de carbono de pared simple con la finalidad de ver los efectos de la temperatura y presión en los nanotubos de carbono de pared simple, en estos casos la temperatura de crecimiento aumenta de 0 °C a 40 °C.
Las principales contribuciones del estudio son mostrar la eficiencia computacional y la simplicidad en el análisis de la deflexión de los nanotubos de carbono de pared simple. La eficiencia computacional mejorada se basa en el análisis comparativo de la deflexión de los nanotubos para los enfoques fraccionarios versus no fraccionarios en tiempos pequeños y grandes.
El estudio paramétrico de este manuscrito ha contemplado la utilización de nanotubos, considerando aplicaciones termofísicas y estructurales.
Finalmente, concluimos que:
- El aumento en la deflexión de los nanotubos de carbono de pared simple es una función creciente de la presión externa.
- Los efectos de la temperatura sobre la deflexión de los nanotubos de carbono de pared simple disminuyen cuando aumentan los cambios de temperatura.
- La mejora en el parámetro de cimentación hace que la deflexión de los nanotubos de carbono de pared simple sea más rígida y, en consecuencia, atenúa la deflexión del nanotubo.
- La deflexión de los nanotubos de carbono de pared simple obtenidos mediante un enfoque fraccional en un tiempo menor t = 1 S es más rápida en comparación con la deflexión de los nanotubos de carbono de pared simple obtenidos mediante el método clásico, por el contrario, cuando los tiempos aumentan para un aspecto mayor, se observa una tendencia similar.
Referencias
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